lunes, 23 de julio de 2018

Espiral de Arquimedes y las Coordenadas polares en Excel

Un tema muy interesante es poder representar gráficamente en Excel todo tipo de curvas, circunferencias, etc...
El problema es que en Excel no puede hacer gráficas en coordenadas polares!!!.
por lo que tendremos que convertir la función a coordenadas cartesianas (x , y) y representar éstas.

Para convertir coordenadas polares: (r,θ) (sistema de coordenadas bidimensional en el que cada punto del plano se determina por una distancia y un ángulo) a coordenadas cartesianas: (x,y) tendremos que emplear el siguiente cálculo.

Definido un punto en coordenadas polares por su ángulo θ sobre el eje x, y su distancia r al centro de coordenadas, se tiene:
x=r cos(θ)
y=r sen(θ)


Es fundamental esta conversión de polar a cartesiana para mostrar en Excel la Espiral de Arquímedes!!!.

Esta espiral de Arquímedes se define como el lugar geométrico de un punto moviéndose a velocidad constante sobre una recta que gira sobre un punto de origen fijo a velocidad angular constante.
De manera equivalente, en coordenadas polares (r,θ), la espiral de Arquímedes que responde a la ecuación:
r(θ)=a+bθ

siendo a y b números reales.
Cuando el parámetro 'a' cambia, la espiral gira, mientras que 'b' controla la distancia en giros sucesivos.


Nuestro siguiente ejemplo representa gráficamente esta espiral de Arquímedes.
Tomaremos como parámetro 'a' el radio de partida, y nuestra 'b' será nuestro coeficiente de giro.

Crearemos una tabla con cuatro campos...
El primer campo 'ángulo θ' representará diferentes medidas de ángulos, con valores de 0 a 60 con intervalos de 0,2.

El segundo campo 'radio - r' representa la medida polar del radio, esto es, la función polar:
r(θ)=a+bθ
así pues lo fórmulamos como:
=r_inicial+coeficiente*[@[ángulo θ]]

Sabiendo que hemos creado dos nombres definidos:
coeficiente =Arquimedes!$C$2
r_inicial =Arquimedes!$C$1


El tercer campo 'x' es la conversión a cartesiano de la coordenada anterior calculada, sobre (r(θ),'ángulo θ'), es decir, el campo 'x' es igual a:
=[@[radio - r]]*COS([@[ángulo θ]])

Mientras que con el cuarto y último campo 'y' obtenemos el valor cartesiano de la y desde los valores de (r(θ),'ángulo θ'):
=[@[radio - r]]*SENO([@[ángulo θ]])


Vemos en la imagen siguiente los datos...

Espiral de Arquimedes y las Coordenadas polares en Excel



Una vez calculados todas las coordenadas cartesianas, seleccionamos los campos para 'x' y para 'y' e insertaremos un gráfico de dispersión con líneas suavizadas y obtendremos:

Espiral de Arquimedes y las Coordenadas polares en Excel



Otro ejemplo de espiral es la Espiral logarítmica con ecuación polar:
r(θ)=a b^θ
aplicándolo sobre la misma tabla, pero cambiando el segundo campo 'radio - r' por la fórmula:
=coeficiente*r_inicial^[@[ángulo θ]]
y resultado:

Espiral de Arquimedes y las Coordenadas polares en Excel

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